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ROI based portfolio optimization

Input​

SymbolCodeDescription
 ari\ _ar_icurrent_roiCurrent ROI of asse a, timeslot i, Buy at  ati, api\ _at_i, \ _ap_i , sell now, ap\ _ap
 ar^i\ _a\hat{r}_iestimated_roiEstimated ROI of asset a, timeslot i, Buy at  ati, api\ _at_i, \ _ap_i, sell future,  ap^\ _a\hat{p}
 ar^\ _a\hat{r}current_estimated_roiCurrent estimated ROI of asset a, Buy now, ap\ _ap, sell future,  ap^\ _a\hat{p}
 aCovr(i,j)\ _ aCov_r(i,j)NACovariance element of ROI. i∈{ ari, ar^i, ar^},j∈{...}i\in\{\ _ar_i, \ _a\hat{r}_i, \ _a\hat{r}\}, j\in\{...\}
 axi\ _ax_iasset_investment_rateCurrent asset investment rate of asset a, timeslot i
SymbolCodeDescription
 api\ _ap_ibuy_priceBuy price of asset a, timeslot i
 api\ _ap_icurrent_priceCurrent price of asset a
 ap^\ _a\hat{p}estimated_priceEstimated price of asset a
 aCovp(i,j)\ _aCov_p(i,j)NACovariance element of price.
 aciB\ _ac_{iB}buy_commission_rateBuy commission rate of asset a, timeslot i
 acB\ _ac_{B}current_buy_commission_rateCurrent buy commission rate of asset a
 acS\ _ac_{S}sell_commission_rateCurrent sell commission rate of asset a
 ari= ap(1− acS)− api(1+ aciB) ap(1+ acB)\ _ar_i = \frac{\ _ap(1-\ _ac_S) - \ _ap_i(1+\ _ac_{iB})} {\ _ap(1+\ _ac_{B})}
 ar^i= ap^(1− acS)− api(1+ aciB) ap(1+ acB)\ _a\hat{r}_i = \frac{\ _a\hat{p}(1-\ _ac_S) - \ _ap_i(1+\ _ac_{iB})} {\ _ap(1+\ _ac_{B})}
 ar^= ap^(1− acS)− ap(1+ acB) ap(1+ acB)\ _a\hat{r} = \frac{\ _a\hat{p}(1-\ _ac_S) - \ _ap(1+\ _ac_{B})} {\ _ap(1+\ _ac_{B})}

Covariance formula​

自己相関の計算をする。以下が成り立つとする。

 aσp2= aCovp( ap^, ap^)\ _a\sigma^2_{p}=\ _ aCov_p(\ _a\hat{p}, \ _a\hat{p})
 aσr,i2= aCovr( ar^i, ar^i)\ _a\sigma^2_{r,i}=\ _ aCov_r(\ _a\hat{r}_i, \ _a\hat{r}_i)
 aσr2= aCovr( ar^, ar^)\ _a\sigma^2_{r}=\ _ aCov_r(\ _a\hat{r}, \ _a\hat{r})

すると、分散×定数の公式から以下が成り立つ。どっちも同じ式になる。

 aσr,i2=(1− acS ap(1+ acB))2 aσp2\ _a\sigma^2_{r,i}=\left(\frac{1-\ _ac_S}{\ _ap(1+\ _ac_B)}\right)^2 \ _a\sigma^2_{p}
 aσr2=(1− acS ap(1+ acB))2 aσp2\ _a\sigma^2_{r}=\left(\frac{1-\ _ac_S}{\ _ap(1+\ _ac_B)}\right)^2 \ _a\sigma^2_{p}

Phase1としては、これで良い？おそらくIntra assetの共分散と、inter assetの共分散は異なってくる。

Intra asset covariance​

以下が成り立つとする。

 aσr,i,j2= aCovr( ar^i, ar^j)\ _a\sigma^2_{r,i,j}=\ _ aCov_r(\ _a\hat{r}_i, \ _a\hat{r}_j)
 aσr,0,i2= aCovr( ar^, ar^i)\ _a\sigma^2_{r,0,i}=\ _ aCov_r(\ _a\hat{r}, \ _a\hat{r}_i)

共分散の計算:

Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
 ar^i ar^i=(1− acS)2 ap2(1+ acB)2 ap^2−(1− acS)( api(1+ aciB)+ apj(1+ acjB)) ap2(1+ acB) ap^− api apj(1+ aciB)(1+ acjB) ap2(1+ acB)2\ _a\hat{r}_i \ _a\hat{r}_i = \frac{(1-\ _ac_S)^2}{\ _ap^2(1+\ _ac_B)^2}\ _a\hat{p}^2\\ - \frac{(1-\ _ac_S)(\ _ap_i(1+\ _ac_{iB})+\ _ap_j(1+\ _ac_{jB}))}{\ _ap^2(1+\ _ac_B)}\ _a\hat{p}\\ -\frac{\ _ap_i\ _ap_j(1+\ _ac_{iB})(1+\ _ac_{jB})}{\ _ap^2(1+\ _ac_B)^2}

であり、E(X2)=E(X)2+V(X)E(X^2)=E(X)^2+V(X)なので、

 aσr,i,j2= aσr,0,i2=(1− acS)2 ap2(1+ acB)2 aσp2\ _a\sigma^2_{r,i,j}=\ _a\sigma^2_{r,0,i}\\ =\frac{(1-\ _ac_S)^2}{\ _ap^2(1+\ _ac_B)^2}\ _a\sigma_p^2

になる。

Inter asset covariance Cov( ar^i, br^j)Cov(\ _a\hat{r}_i, \ _b\hat{r}_j)​
 abσr2=Cov( ar^i, br^j)\ _{ab}\sigma_r^2 = Cov(\ _a\hat{r}_i, \ _b\hat{r}_j)

を計算する。

Cov( ar^i, br^j)=E( ar^i br^j)−E( ar^i)E( br^j)=(1− acS)(1− bcS) ap bp(1+ acB)(1+ bCB)(E( ap^ bp^)−E( ap^)E( bp^))Cov(\ _a\hat{r}_i, \ _b\hat{r}_j) = E(\ _a\hat{r}_i \ _b\hat{r}_j)-E(\ _a\hat{r}_i) E(\ _b\hat{r}_j)\\ =\frac{(1-\ _ac_S)(1-\ _bc_S)}{\ _ap\ _bp(1+\ _ac_B)(1+\ _bC_B)} (E(\ _a\hat{p} \ _b\hat{p}) - E(\ _a\hat{p})E(\ _b\hat{p}))

であり、

Cov( ap^, bp^)= abσp2Cov(\ _a\hat{p}, \ _b\hat{p}) = \ _{ab}\sigma_p^2

とすれば、Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)なので

Cov( ap^, bp^)= abσp2=E( ap^ bp^)−E( ap^)E( bp^)Cov(\ _a\hat{p}, \ _b\hat{p}) = \ _{ab}\sigma_p^2 = E(\ _a\hat{p} \ _b\hat{p})-E(\ _a\hat{p})E(\ _b\hat{p})

したがって、

Cov( ar^i, br^j)=(1− acS)(1− bcS) ap bp(1+ acB)(1+ bCB) abσp2Cov(\ _a\hat{r}_i, \ _b\hat{r}_j)= \frac{(1-\ _ac_S)(1-\ _bc_S)}{\ _ap\ _bp(1+\ _ac_B)(1+\ _bC_B)}\ _{ab}\sigma_p^2

Note: i,ji,jには依存しない値となる。 abσp2\ _{ab}\sigma_p^2は事前に相関など価格時系列から計算しておく。